RESOLVIENDO PROBLEMAS. PARTE 2

¿Serias capaz de resolver el siguiente ejercicio con los conocimientos aprendidos anteriormente?

EJERCICIO PRÁCTICO

Quieren poner un camping de forma circular junto al camino que cruza los arroyos Aguafría y Fresquillo. En el centro del camping estará ubicado un mirador, ¿Dónde debería situarse el mirador para que estuvieran a la misma distancia de los dos arroyos, en línea recta? Dibuja el camino más corto que debe unir el camping y los arroyos.

Para resolver el ejercicio, obtenemos la bisectriz del ángulo que forman ambos arroyos.

Podemos situar el centro del camping en cualquier punto contenido en la bisectriz, dónde más nos guste. Por tanto, la solución no es única. 

Raquel desea construir en su jardín (triangular) una pista circular lo mayor posible. ¿Sabrías ayudarle a situarla? ¿Qué procedimiento emplearías para resolver este problema?

En este ejercicio, deseamos encontrar el punto del triángulo dónde podamos inscribir el mayor círculo posible en su interior. Esto quiere decir, que este punto debe estar a la misma distancia de las tres rectas que forman el triángulo. Por tanto, debemos trazar la bisectriz de los tres ángulos, que se unirán en un mismo punto, el incentro del triángulo. 

La solución es única. Sólo podemos poner el centro de la pista en éste punto en concreto.

Fuente: Papel y Lápiz y Programas de Geometría. Carlos Marcelo Godoy Villanueva

RESOLVIENDO PROBLEMAS. PARTE 1

¿Serias capaz de resolver el siguiente ejercicio con los conocimientos aprendidos anteriormente?

EJERCICIO PRÁCTICO

Un estudio de la superficie marina demostró que frente a la costa entre Barcelona y Valencia se ha detectado un yacimiento petrolífero de gran magnitud. La empresa petrolífera ubicara un estación de bombeo dentro del yacimiento que enviara el preciado metal a estas dos ciudades, pero esta debe estar ubicada de tal forma que las conexiones mediante tuberías sea la misma a las dos ciudades.

¿Dónde debería estar ubicada la estación de bombeo?

Para resolver el ejercicio, trazamos una recta que una las dos ciudades, Barcelona y Valencia, y trazamos la mediatriz del segmento que se forma.

Podemos situar la estación de bombeo en cualquier punto contenido en la mediatriz que se encuentre dentro del yacimiento de petróleo. Por tanto, la solución no es única.

La ciudad de la Palma está muy interesada por tener petróleo desde este yacimiento, es así que pide que se le envíe también. ¿Cuál sería la nueva ubicación de la estación de bombeo para que las distancias sean las mismas a las tres ciudades?

Esta vez, tenemos que trazar las tres rectas que unan las tres ciudades, obteniendo un triángulo. Trazaremos la mediatriz de los tres segmentos, que se unirán en un punto, el circuncentro del triángulo. 

Por tanto la solución es única, sólo podemos poner la estación de bombeo en éste punto en concreto.

Fuente: Papel y Lápiz y Programas de Geometría. Carlos Marcelo Godoy Villanueva

TRAZANDO LA BISECTRIZ

En los ejercicios anteriores, hemos analizado el concepto de bisectriz desde un punto de vista experimental. Pero, ¿cuál es el método adecuado para trazarla con exactitud?

DEFINICIÓN DE BISECTRIZ

La bisectriz de un ángulo es la semirecta que divide un ángulo en dos partes iguales pasando por el vértice.

Todos los puntos de la bisectriz equidistan (están a la misma distancia) de los lados del ángulo. Por tanto, la bisectriz es el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de los lados de un ángulo.

CÓMO TRAZAR LA BISECTRIZ CON REGLA Y COMPÁS

1º- Con centro en el vértice y un radio cualquiera (suficientemente amplio) trazamos un arco que corta a ambos lados del ángulo en los puntos 1 y 2.

2º- Con centros en los puntos 1 y dos trazamos dos arcos de igual radio (mayor a la mitad de la distancia entre 1 y 2) que se cortán en el punto 3.

3º- Unimos el punto 3 con el vértice del ángulo dado y obtenemos la bisectriz.

ANIMACIÓN EXPLICATIVA

Si no te ha quedado claro el procedimiento en la explicación anterior, o te atascas en algún punto, mira la siguiente animación y ¡seguro que te queda claro!

http://recursostic.educacion.es/artes/plastic/web/cms/index.php?id=190

Fuente: laslaminas.es

EXPERIMENTANDO EL CONCEPTO DE BISECTRIZ

¿Qué es la bisectriz? ¿Qué características tiene? Realiza los siguientes experimentos y ¡extrae tus propias conclusiones!

DOBLANDO PAPEL

Construimos mediante el plegado del papel dos rectas que se corten dentro del folio. Obtenemos así el ángulo φ

Doblamos el papel de forma que los dos lados del ángulo coincidan.

La bisectriz es esta recta que divide el ángulo φ en dos ángulos iguales.

MIDIENDO DISTANCIAS

Para esta actividad necesitamos además del papel, regla, escuadra y compás.

La actividad consiste en determinar que la distancia de un punto cualquiera sobre la bisectriz está a igual distancia de las dos semirrectas que definen el ángulo.

Para ello, se selecciona un punto de la bisectriz cualquiera, se traza una perpendicular a cada semirrecta que forma el ángulo y se mide la distancia con el compás.

CONCLUSIONES

¿Qué hemos conseguido con estos ejercicios? Con estos ejercicios hemos descubierto que:

1º La bisectriz es una recta

2º La recta bisectriz divide el ángulo en dos ángulos iguales

3º La recta mediatriz pasa por el vértice del ángulo.

4º Cualquier punto contenido en la recta bisectriz está a la misma distancia de las dos semirrectas que forman el ángulo.

Fuente: Papel y Lápiz y Programas de Geometría. Carlos Marcelo Godoy Villanueva

           Geometría Plana con Papel. Grupo PI

TRAZANDO LA MEDIATRIZ

En los ejercicios anteriores, hemos analizado el concepto de mediatriz desde un punto de vista experimental. Pero, ¿cuál es el método adecuado para trazarla con exactitud?

DEFINICIÓN DE MEDIATRIZ

La mediatriz de un segmento es una recta perpendicular a este por su punto medio, divide al segmento en partes iguales. También se puede definir como "el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos de un segmento". Por tanto, todos los puntos de la mediatriz se encuentran a igual distancia de los extremos del segmento.

CÓMO TRAZAR LA MEDIATRIZ CON REGLA Y COMPÁS

1º- Trazamos un arco con un radio cualquiera con centro en el punto A.

2º- Con cuidado de no abrir o cerrar el  compás, trazamos un arco de igual radio al anterior desde el punto B.

3º- Identificamos los puntos 1 y 2, dónde estos arcos se cortan.

4º- Unimos los puntos 1 y 2 para obtener la mediatriz.

ANIMACIÓN EXPLICATIVA

Si no te ha quedado claro el procedimiento en la explicación anterior, o te atascas en algún punto, mira la siguiente animación y ¡seguro que te queda claro!

http://recursostic.educacion.es/artes/plastic/web/cms/index.php?id=4198&0=

Fuente: laslaminas.es

          

EXPERIMENTANDO EL CONCEPTO MEDIATRIZ

¿Qué es la mediatriz? ¿Qué características tiene? Realiza los siguientes experimentos y ¡extrae tus propias conclusiones!

LAS FICHAS EQUIDISTANTES

Tenemos una hoja con dos puntos A y B, una cuerda y un conjunto de fichas.

El ejercicio consiste en colocar las fichas de tal manera que las distancias de cada ficha sea la misma a ambos puntos A y B del segmento (equidistancia de los puntos).

Con la ayuda de la cuerda intentamos colocar la primera ficha.

 Una vez colocada la primera ficha, ¡seguimos colocando más! 

Ahora reflexiona sobre las siguientes cuestiones:

1. ¿Cómo están colocadas las fichas?

2. ¿Qué sucede si pones la cuerda sobre las fichas entre la primera y la última?

a) ¿Podrías decir que las fichas están alineadas? ¿Por qué?

b) ¿Si queremos agregar más fichas sin medir (sin cuerda) que cumplan esta condición donde la pondrías?

DOBLANDO PAPEL

En un papel marca dos puntos A y B y el segmento que los une AB. 

Luego coge el papel y dóblalo colocando el punto A sobre el B marcando la línea. 

¡Esta es la recta mediatriz del segmento AB! Comprueba con la cuerda las distancias entre los puntos A y B y uno o dos puntos de la línea. 

CONCLUSIONES

¿Qué hemos conseguido con estos ejercicios? Con estos ejercicios hemos descubierto que:

1º La mediatriz es una recta

2º La recta mediatriz es perpendicular al segmento AB

3º La recta mediatriz pasa por el punto medio del segmento AB

4º Cualquier punto contenido en la recta mediatriz está a la misma distancia tanto del punto A como del punto B del segmento.

Fuente: Papel y Lápiz y Programas de Geometría. Carlos Marcelo Godoy Villanueva

           Geometría Plana con Papel. Grupo PI

GEOMETRÍA EN PAPEL. CONTINUAMOS...

¡Los ejercicios se van complicando! Vamos a tratar los conceptos de paralelismo y perpendicularidad en los siguientes ejercicios.

EJERCICIO 3

¿Cómo trazamos una recta perpendicular a otra si el papel es irregular y no nos puede servir de guía? Para este ejercicio necesitarás un poco de ayuda.

Cogemos el trozo de papel y lo doblamos como queramos. Ya tenemos nuestra primera recta delimitada.

Marcamos dos puntos X y Y sobre la recta y doblamos el papel de forma que estos dos puntos coincidan.

¡Voilá! ¡Desdoblamos el papel y tenemos marcadas nuestras dos rectas perpendiculares!

EJERCICIO 4

Ahora vamos a trazar una recta paralela a otra recta. ¿Cómo podemos hacerlo?

Obtenemos una recta cualquiera doblando el papel como deseemos. La llamamos r.

Obtenemos una recta perpendicular a la recta r y le llamamos s. ¿Recuerdas como se hacía? Intenta repetirlo sin mirar el ejercicio anterior.

Volvemos a trazar una recta perpendicular, esta vez a la recta s.

¡La recta paralela a r es la recta perpendicular de la recta perpendicular! Las dos rectas paralelas comparten la misma recta perpendicular.

Fuente: Geometría Plana con Papel. Grupo PI

GEOMETRÍA EN PAPEL. ¡EMPEZAMOS!

Para los ejercicios que proponemos a continuación solo se necesita PAPEL, tus MANOS y muchas GANAS de aprender. Puedes utilizar cualquier papel, no hace falta que sea un folio en blanco. Así que, ¡además de aprender ayudamos a reciclar!

EJERCICIO 1

¿Sabrías como obtener un punto doblando el papel?

¡Efectivamente! Sólo tienes que plegar el papel varias veces en direcciones distintas para obtener diversos puntos. Observa el resultado y reflexiona. ¿Cuántas rectas son necesarias para obtener un punto?

Claro, ¡obtienes un puntos cada vez que dos rectas se intersecan! Por tanto, dos rectas que se cortan forman un punto.

Pero, ¿puedes hacerlo con cualquier tipo de recta? Hay algunas rectas que no se cortan dentro del papel, pero si las prolongáramos hacia su exterior, se cortarían fuera de él. Pero, ¿qué pasa con las rectas paralelas? Las rectas paralelas se cortan en el infinito, o lo que es lo mismo, por mucho que las prolonguemos, no se cortan. Por tanto, no podemos obtener un punto a partir de dos rectas paralelas.

EJERCICIO 2

Cogemos un trozo de papel y dibujamos con un rotulador dos puntos al azar. ¿Cómo trazamos una recta que una los puntos A y B? ¿Cuántas rectas podemos "trazar"? ¿Cuántas semirrectas obtenemos? ¿Cuántos segmentos?

¡Sólo existe una recta que pasa por los puntos A y B! Por tanto, podemos decir que podemos definir una recta, y sólo una, a partir de dos puntos.

Sin embargo, podemos definir dos semirrectas. Una semirrecta es una porción de recta delimitada por un punto. Por tanto, una semirrecta será la que parte desde el punto A hacia el infinito, y la otra, la que parte del punto B.

 En cuanto a segmentos, obtenemos un segmento delimitado por ambos puntos, el segmento AB.

Fuente: Geometría Plana con Papel. Grupo PI

APRENDER GEOMETRÍA MEDIANTE LA PAPIROFLEXIA. INTRODUCCIÓN

¿Sabías que podemos aprender geometría mediante la papiroflexia o el doblado del papel?

Humiaki Huzita fue uno de los primeros científicos que estudiaron esta técnica, proponiendo una serie de axiomas o reglas del juego. 

Para los ejercicios que realizaremos a continuación no es necesario conocer estas reglas, pero necesitamos enunciarlos como fundamento teórico para entender las actividades que realizaremos después.

Los axiomas de Humiaki Huzita son:

AXIOMA 1: Dados dos puntos P y Q se puede realizar el pliegue que los une.

OBJETO MATEMÁTICO: Recta que pasa por los puntos P y Q.

AXIOMA 2: Dados dos puntos P y Q se puede realizar el pliegue que sitúa a P sobre Q.

OBJETO MATEMÁTICO: Mediatriz del segmento PQ.

AXIOMA 3: Dadas dos rectas r y s se puede realizar un pliegue que sitúe a r sobre s.

OBJETO MATEMÁTICO: Bisectriz del ángulo que forman las rectas r y s.

AXIOMA 4: Dado un punto P y una recta r se puede realizar el pliegue perpendicular a r que pasa por P.

OBJETO MATEMÁTICO: Recta perpendicular a otra que pasa por P.

AXIOMA 5: Dados dos puntos P y Q y una recta r podemos realizar un pliegue que sitúe a P sobre r y pase por Q.

AXIOMA 6: Dados dos puntos P y Q y dos rectas r y s se puede realizar un pliegue que sitúe a P sobre r y a Q sobre s. 

AXIOMA 7: Dados un puntos P y dos rectas r y s se puede realizar un doblez perpendicular a r que coloca al punto P sobre la línea s.

Fuente: The Mathematics of Origami. Sudharaka Palamakumbura
           Geometría Plana con Papel. Grupo PI

PUNTOS, RECTAS Y PLANOS. ¿QUÉ SON?

El punto, la recta y el plano son los elementos básicos de la geometría descriptiva, algo así como su abecedario. Por eso, ¡qué mejor nombre para darle a nuestro blog!

A continuación vamos a descubrir en qué consiste cada uno de ellos:

El PUNTO es la unidad mínima en geometría. El punto define una posición en el espacio pero no tiene dimensión. Su concepto más cercano es el orificio de un alfiler  en una hoja de papel o un granito de arena.  

Podemos definir un punto de tres formas:

-Intersección de dos rectas o arcos

-Intersección de una recta con un plano

-Circunferencia de radio 0

La RECTA, es una sucesión de puntos en una misma dirección. Una recta es infinita y sólo la podemos concebir virtualmente, ya que los elementos donde la dibujamos son finitos. Su concepto más cercano sería un hilo tenso.

Podemos definir una recta mediante:

-Unión de dos puntos dados

-Dos planos que se cortan

Por último, el PLANO es una superficie infinita, sin grosor, formada por puntos infinitos que siguen una misma dirección, es decir, hay rectas que quedan totalmente incluidas en ella. Su concepto más cercano sería una hoja de papel.

Podemos definir un plano mediante:

-Dos rectas que se cortan

-Tres puntos

-Un punto y una recta